Esta dissertação apresenta um estudo sobre a existência e a unicidade de atratores topológicos e de medidas invariantes em Sistemas Iterados de Funções (IFS). Inicialmente, desenvolve-se a teoria clássica dos IFS hiperbólicos a partir dos resultados de Hutchinson, incluindo a construção do atrator como conjunto compacto invariante e a existência da medida invariante associada ao sistema, com a devida contextualização do resultado de completude estabelecido por Kravchenko. Em seguida, com base no trabalho de Arbieto, Junqueira e Santiago, analisa-se a classe mais geral dos IFS fracamente hiperbólicos, nos quais a condição de contração uniforme é substituída pelo colapso assintótico dos diâmetros das imagens sucessivas. Nesse contexto, sob hipóteses de compacidade, demonstram-se a existência e a unicidade do atrator topológico global e de uma medida teoricamente atratora, cujo suporte coincide com o atrator sob uma condição natural sobre a distribuição dos parâmetros, além de sua ergodicidade. Por fim, esses resultados são estendidos, sob hipóteses adicionais de encadeamento, a espaços métricos completos não necessariamente compactos.

Em muitas aplicações práticas, uma mesma decisão influencia simultaneamente diferentes objetivos, que frequentemente entram em conflito. A análise desses problemas constitui o objeto de estudo da otimização multiobjetivo. Esta dissertação tem como finalidade estudar a convergência do Método Newton Proximal Gradiente aplicado a problemas de otimização multiobjetivo compostos, nos quais cada função objetivo é dada pela soma de uma função convexa e continuamente diferenciável com uma função convexa, em geral, não diferenciável. Para isso, inicialmente será feito um estudo do Método Newton para problemas de otimização multiobjetivo, destacando sua formulação e suas principais propriedades de convergência. Posteriormente, é apresentado o Método Newton Proximal Gradiente para problemas de otimização multiobjetivo compostos. Por fim, são estabelecidos resultados de convergência superlinear e quadrática local para o Método Newton Proximal Gradiente no contexto multiobjetivo, mostrando que, sob hipóteses adequadas, o método atinge as taxas de convergência características dos métodos clássicos de Newton, mesmo na presença de termos não diferenciáveis nas funções objetivo.

Este trabalho apresenta uma análise do método do gradiente projetado aplicado a problemas de otimização convexa com restrições. Inicialmente, estudamos suas propriedades de convergência em espaços euclidianos, destacando o resultado clássico que garante a convergência de toda a sequência gerada para uma solução do problema. Em seguida, estendemos a análise para espaços de Hilbert, onde estabelecemos a convergência fraca do método clássico. Por fim, estudamos uma variante híbrida, baseada na projeção sobre conjuntos convexos auxiliares, cuja sequência converge fortemente para a solução mais próxima do ponto inicial.

Neste trabalho apresentamos métodos proximais de alta ordem para problemas de otimização convexa composta, com ênfase na análise de complexidade de algoritmos e no emprego de regularizações de ordem superior. Inicialmente, apresentamos algus conceitos de análise convexa e de cálculo em espaços euclidianos necessários ao desenvolvimento da teoria, incluindo o operador do ponto proximal clássico. Em seguida, analisamos o método do ponto proximal de ordem superior para problemas convexos, destacando suas propriedades teóricas e os resultados de complexidade obtidos sob hipóteses adequadas de suavidade. Na sequência, introduzimos distância de Bregman, que permite o desenvolvimento de um método de gradiente composto não Euclidiano para a resolução aproximada dos subproblemas proximais. Sob condições apropriadas para as funções envolvidas, é estabelecida a análise da taxa de convergência do algoritmo proposto. Os resultados apresentados evidenciam como o uso de regularizações de alta ordem, aliado a geometrias não euclidianas, possibilita a construção de métodos mais eficientes para a resolução de problemas convexos compostos, contribuindo para o avanço da teoria e da análise de complexidade em otimização convexa.

Neste trabalho estudamos a boa e a má colocação do problema de
valor inicial associado à equação de Zakharov–Kuznetsov modificada
bidimensional, seguindo a abordagem de Linares e Pastor (2009).
Para isso, apresentamos resultados preliminares e estimativas lineares
que permitem demonstrar, via argumento de contração, a boa
colocação local em espaços de Sobolev com regularidade entre três
quartos e um. Também abordamos os resultados de boa colocação
local e global no espaço de energia obtidos por Biagioni e Linares
(2003), sendo a boa colocação global estabelecida a partir das leis de
conservação da massa e da energia. Por fim, discutimos a má
colocação no espaço das funções quadrado-integráveis, devido à falha
da continuidade uniforme da aplicação dado-solução

The behavior of solutions, namely scattering and finite-time blow-up, for systems of nonlinear Schrödinger (NLS) equations with general quadratic-type nonlinearities was established by Nogueira and Pastor. In this thesis, we extend these results to a coupled inhomogeneous NLS system. Under suitable assumptions on the nonlinear coupling terms, we establish conservation laws, local and global well-posedness, and the long-time behavior of solutions. More precisely, we prove well-posedness in the mass-subcritical regime, establish the existence of ground states, derive sufficient conditions for global existence, and characterize the dichotomy between global existence and finite-time blow-up in the intercritical regime. Finally, we prove scattering for radial solutions in the intercritical regime. The argument combines Strichartz estimates, Morawetz-type estimates, and a scattering criterion inspired by the works of Guzmán and Campos. The analysis is carried out without assuming a mass-resonance condition, thereby extending the applicability of previous scattering results.

In this dissertation, we study the geometric rigidity of compact $(\lambda,n+m)$- Einstein manifolds $(M^{n},g,f)$, $n\geq4,$ under the Bach-flat condition. Following the methodological approach of Chen and He, we analyze the behavior of the Weyl tensor and the potential function $f$ on these spaces. It is shown that the vanishing of the Bach tensor rigidly restricts the geometry of the manifold, implying that the space is locally conformally flat if $n=4, or that it has a harmonic Weyl tensor and zero radial Weyl curvature if $n\geq4$. Finally, we detail the global classification resulting from these properties for the case where the parametrer $m\neq1$ and the constant $\lambda$ is positive.

Neste trabalho estudamos problemas de equilíbrio bilevel em  $\mathbb{R}^n$ por meio de métodos proximais com distâncias  proximais generalizadas. Inicialmente, apresentamos conceitos  fundamentais de análise convexa, incluindo conjuntos  convexos, funções convexas, subdiferenciais, funções  conjugadas, cones normais e funções suporte. Em seguida,  introduzimos os problemas de equilíbrio, destacando sua  capacidade de unificar diversos modelos clássicos, como  problemas de otimização convexa, problemas de ponto fixo e  desigualdades variacionais. O foco principal da dissertação é a  análise de problemas de equilíbrio bilevel, nos quais se busca  uma solução de um problema de equilíbrio de nível superior  restrita ao conjunto solução de um problema de equilíbrio de  nível inferior. Para isso, estudamos a classe das distâncias  proximais generalizadas e sua utilização na construção de  bifunções regularizadas. Sob hipóteses adequadas de  convexidade, semicontinuidade, monotonicidade e coercividade  assintótica, apresentamos condições que garantem existência e  unicidade de soluções dos subproblemas regularizados. Por  fim, analisamos o método proximal proposto para resolver  problemas de equilíbrio bilevel e, sob as hipóteses adotadas,  demonstramos que a sequência gerada pelo algoritmo  converge para uma solução do problema. Encerramos o  trabalho discutindo perspectivas futuras, como versões inexatas  do método e taxas de convergência. 

O objetivo desta dissertação é apresentar as soluções conhecidas para o Problema de Bernstein Estável em Rn para hipersuperfícies 2-lados, com 3 ⩽ n ⩽ 6. Para isso, estudamos as propriedades gerais das hipersuperfícies mínimas estáveis e os resultados clássicos relacionados ao problema. Além do resultado clássico para o caso de superfícies, apresentamos a resolução do problema por meio do método dos conjuntos de níveis de funções harmônicas, para n = 4, e as soluções dadas através do método de μ-bolhas para 3 ⩽ n ⩽ 6. Para cada dimensão, analisamos o comportamento da estabilidade em conjunto com ferramentas clássicas e modernas da análise geométrica.

Neste trabalho apresentaremos alguns resultados de continuação única feitos por C. E. Kenig, G. Ponce, L. Vega, no trabalho {\it Uniqueness properties of solutions to the Benjamin-Ono equation and related
models} com foco no problema de valor inicial associado a equação de Benjamin-Ono\begin{equation*}
\begin{cases}\partial_t u - 2 \mathcal{H} \partial_{x}^{2} u + \partial_{x} (u^2) = 0, & (x,t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\\ u(x,0) = u_0(x). \end{cases} \end{equation*} Inicialmente mostraremos a existência e a unicidade local da solução em $H^s(\mathbb{R})$ para $s > \frac{3}{2}$ usando o método da regularização parabólica seguindo o trabalho feito em $\cite{RI}$. Em seguida apresentaremos alguns resultados feitos em $\cite{RI}$ a respeito da persistência da solução em alguns espaços $L^2$ com peso. Por fim, apresentaremos alguns resultados de continuação única para a solução da equação de Benjamin-Ono em $H^s(\mathbb{R})$ para $s > \frac{5}{2}$ usando análise complexa, e também continuação única para a equação da onda longa intermediária, ambos
feitos em $\cite{GPV}$

O objetivo desse trabalho é estudarmos a controlabilidade aproximada hierárquica para uma equação  da onda com um amortecimento via estratégia de Stackelberg. Mais precisamente, consideraremos um modelo misto linearizado que descreve um tipo de vibrações com extremidades móveis, que contém o modelo de Kirchhoff como caso particular. Além disso, apresentaremos a existência, unicidade e regularidade de soluções para o problema proposto.

Seja M^3 um conjunto de dados iniciais para as equações de Einstein–Maxwell com campo magnético nulo, e seja Σ^2⊂M uma superfície mínima compacta, mergulhada, bilateral e estritamente estável, que maximiza localmente a massa de Hawking carregada. Sob condições adequadas impostas a M, estabelecemos um resultado de rigidez local e concluímos que existe uma vizinhança de Σ em M isométrica ao espaço de Reissner–Nordström–Anti-de Sitter. Ao mesmo tempo, deduzimos uma estimativa para a área de Σ⊂M, sendo Σ uma superfície compacta, mergulhada e bilateral, de gênero g(Σ), que é localmente minimizante de área. No caso de igualdade, provamos que a métrica induzida em Σ tem curvatura de Gauss
constante e que, localmente, M se decompõe ao longo de Σ.

Neste trabalho, estaremos interessados em estudar o chamado Método Proximal Gradiente, conhecido também na literatura relacionada como forward-backward splitting (FBS). Tal método busca resolver problemas de otimização convexa não-suaves onde a função objetivo pode ser decomposta na soma de uma função convexa diferenciável e uma convexa não-suave. Em geral, na literatura relacionada a hipótese de Lipschitz continuidade do gradiente da componente diferenciável é utilizada a fim de garantir a convergência do método para uma solução do problema. No presente trabalho, nosso foco principal é estudar variações do método que se utilizem de estratégias de buscas lineares que permitam garantir a convergência da sequência gerada, sem a suposição de Lipschitz continuidade. Em resumo, analisamos três procedimentos de buscas lineares, sem qualquer suposição de Lipschitz continuidade no gradiente, no qual um dos procedimentos estudados origina dois métodos, sendo um deles uma versão acelerada do outro. Durante o trabalho as propriedades, vantagens e desvantagens de tais procedimentos são analisados, bem como a análise de convergência da sequência gerada pelo Método Proximal Gradiente com tais buscas. Adicionalmente, também é feito um estudo sobre a complexidade dos métodos.

Apresentamos um método do Newton regularizado com convergência global para resolver problemas de otimização irrestrita em que a função objetivo é convexa e possui Hessiana globalmente Lipschitz contínua. Explorando a convexidade da função objetivo, o método combina ideias de regularização cúbica e da penalização de Levenberg-Marquardt, adotando o parâmetro $\lambda_k = \sqrt{H\|\nabla f(x^k)\|}$ e considerando a atualização $x^{k+1} = x^k - \bigl(\nabla^2 f(x^k) + \lambda_k I\bigr)^{-1} \nabla f(x^k),$ onde $H > 0$ é a constante de Lipschitz da Hessiana. Sob hipóteses padrão para esse tipo de método, provamos que o algoritmo apresenta convergência global de ordem $\mathcal{O}(1/k^2)$ para funcões convexa e convergência local superlinear para funcões $\mu$-fortemente convexa. Além disso, propomos estratégias adaptativas de busca linear eficientes para determinar boas aproximações da constante $H$.

Neste trabalho, apresentamos dois algoritmos baseados no algoritmo do ponto proximal para resolver problemas de minimização de diferença de funções. O primeiro algoritmo é destinado à resolução do problema de minimização DC (diferença de funções convexas). O segundo algoritmo trata do problema de minimização da função f = g_1 + g_2 - h, em que g_1 é semicontínua inferior, g_2 é diferenciável com gradiente Lipschitz e h é convexa. Para ambos os algoritmos, demonstramos a boa definição, estabelecemos critérios de parada e mostramos que, quando existem, os pontos de acumulação da sequência gerada são pontos críticos do problema. Além disso, sob a hipótese de que a função objetivo satisfaça a propriedade de Kurdyka–Łojasiewicz, provamos a convergência da sequência.

Este trabalho, teve como objetivo estudar a rigidez do primeiro número de Betti para variedades abertas com curvatura de Ricci não negativa, onde demonstramos que o primeiro número de Betti é n-1 se, e somente se, a variedade é plana com uma alma  um toro plano de dimensão n-1. Para isto, mostramos como o primeiro número de Betti de um espaço controla o crescimento polinomial do seu grupo fundamental e relacionamos este com o grupo das transformações de recobrimento.

Neste trabalho propomos um estudo sobre o método do ponto proximal para resolver problemas de quasi-equilíbrio em duas  versões: exata e inexata.  A versão exata, a qual é uma generalização para o contexto dos problemas de quasi-equilíbrio do método do ponto proximal para problemas de equilibrio; e a versão inexata, é uma extensão da versão exata, onde  é considerada uma perturbação controlada da função parametrizada.  Para isso iniciaremos analizando uma versão método do ponto proximal para problemas de equilíbrio utilizando distancias de Bregman e uma versão alternativa com uma parametrização do tipo Bregman separavél.  Finalmente, mostraremos uma aplicação dos conceitos e resultados de quasi-equilíbrio no modelo de duopólio de Cournot.

Neste trabalho, discutiremos a existência de pontos críticos para  funcionais do tipo Trudinger-Moser. Nosso interesse está em funcionais definidos tanto em Espaços Sobolev clássicos  quanto em Espaços de Sobolev com peso; ambos sob a influência de um termo logarítmico. Os espaços de Sobolev com peso que iremos considerar incluem dimensões fracionárias, são relacionados com a desigualdade de Hardy-Sobolev e são adequados para o estudo de uma classe  de operadores diferenciais que abrange os operadores, Laplaciano, p-Laplaciano,  k-Hessiano e poli-harmônico; quando agindo em funções radialmente simétricas.  Em situações em que o funcional é limitado em um subconjunto do Espaço de Sobolev em questão, a existência de pontos críticos pode ser garantida pela atingibilidade do problema extremal associado, que é um problema delicado ante à perda de compacidade oriunda da otimalidade do crescimento exponencial nas inclusões de Sobolev, como observado por J. Hempel, G. Morris e N. Trudinger em 1970. Além de pontos críticos derivados de extremais, iremos também determinar tais pontos  associados a  máximos locais em situações que vão além da clássica constante crítica de Moser 1970.  Isso estende, para o caso logarítmico, resultados clássicos obtidos por M. Struwe 1988 tanto para Espaços de Sobolev clássicos quanto para Espaços de Sobolev com peso. Em linha com trabalhos recentes devido a K. Tintarev 2014 e V.H. Nguyen 2018, obteremos uma nova desigualdade do tipo Trudinger-Moser para espaços de dimensão fracionária e investigamos a existência de pontos críticos para o funcional associado. Por fim, provamos a existência de soluções fracas para um problema do tipo côncavo-convexo com crescimento exponencial, também no contexto de espaços de dimensão fracionária, que dão uma informação sobre o alcance do conjunto dos pontos críticos.

Neste trabalho, estuda-se subvariedades com bordo não vazio, propriamente mergulhadas em variedades com bordo, com vistas à obtenção de resultados de rigidez e desigualdades espectrais. Em um primeiro momento, obtemos estimativas de área para hipersuperfícies capilares estáveis com curvatura média constante $\Sigma$, com invariante de Yamabe não positivo, que são propriamente mergulhadas em uma variedade Riemanniana $n$-dimensional $M$ com curvatura escalar $R^M$ e curvatura média do bordo $H^{\partial M}$ limitadas inferiormente. Também demonstramos um resultado de rigidez local no caso em que $\Sigma$ é mergulhada e minimiza a $J$-energia. Em um segundo momento, estabelecemos desigualdades espectrais envolvendo o $k$-ésimo autovalor de Steklov para o operador Laplaciano definido em uma subvariedade com bordo conformemente propriamente imersa na bola unitária do espaço Euclidiano em termos do volume conforme da imersão, do volume do bordo e do volume da subvariedade. Mais geralmente, consideramos operadores do tipo Schrödinger-Steklov, incluindo os casos do Laplaciano conforme. Por fim, apresentamos um resultado de extremização do tipo Hersch e estimativas para o índice dos operadores do tipo Schrödinger-Steklov.

Estudaremos o problema de minimização de uma função possivelmente não convexa, mas que pode ser expressa como a diferença entre duas funções convexas. Para resolver esse problema, utilizaremos três métodos consolidados na literatura: o Difference of Convex Algorithm (DCA), o Boosted Difference of Convex Algorithm (BDCA), que introduz uma direção de descida a partir de cada ponto gerado pelo DCA, acelerando a convergência por meio de uma estratégia de linha de busca; e o Non-Monotone Boosted Difference of Convex Algorithm (nmBDCA), uma variante mais recente que relaxa a exigência de redução monotônica da função objetivo, permitindo uma exploração mais flexível do espaço de busca ao admitir aumentos controlados dessa função, regulados por um parâmetro. Esses métodos serão aplicados ao problema de restauração de imagens degradadas por ruído, com o intuito de comparar sua eficácia e desempenho em termos de qualidade da imagem restaurada e de custo computacional. O objetivo é avaliar se essas estratégias baseadas em decomposição DC proporcionam ganhos significativos em comparação com técnicas tradicionais utilizadas no contexto do processamento de imagens.

O objetivo deste trabalho é apresentar um estudo aprofundado sobre controlabilidade exata às trajetórias e controle robusto para a equação do calor linear e semi-linear, via estratégia hierárquica de Stackelberg, em domínios limitados do RN e condições de fronteira de Dirichlet. Na demonstração dos teoremas principais foi utilizado o método HUM para o controle ótimo combinado com a otimização de um funcional de custo para o controle robusto. Para isso, foi preciso construir uma desigualdade de Observabilidade para a equação adjunta, via desigualdade de Carleman. Na demonstração do caso semi-linear, fizemos uso do Teorema do ponto fixo de Schauder.

Neste trabalho, inicialmente estudamos a rigidez de discos mínimos com bordo livre que maximizam localmente a massa de Hawking modificada em uma variedade Riemanniana tridimensional com curvatura escalar limitada inferiormente por uma constante positiva e com bordo médio convexo. Supondo que tais discos são estritamente estáveis, provamos que uma vizinhança deste é isométrico a um espaço semi de Sitter-Schwarzschild.

Na segunda parte, exploramos a relação entre massa e capacidade através do estudo dos conjuntos de nível de funções harmônicas, afim de deduzirmos algumas desigualdades geométricas em variedades assintoticamente planas com bordo não compacto. Como consequência, estabelecemos um teorema de rigidez para o semi-Schwarzschild

Neste trabalho, estudamos ferramentas matemáticas usadas para a obtenção de superfícies multifocais que são usadas na correção da presbiopia (perda da capacidade de curvar nossa lente cristalina por causa do aumento na rigidez do cristalino). Para uma abordagem matemática do problema, consideramos o funcional de Willmore definido sobre o conjunto das superfícies compactas com bordo em R^3. Para o estudo do funcional de Willmore, primeiramente usamos métodos do cálculo de variações e provamos a existência de superfícies de revolução geradas por gráficos simétricos que são soluções da equação de Euler-Lagrange correspondente ao funcional, e que satisfazem condições de contorno adequadas. Posteriormente, tratamos o caso unidimensional, onde em algumas situações, soluções explícitas podem ser encontradas para problemas de valor de contorno adequados.

Neste trabalho, apresentamos avanços teóricos em métodos de otimização multiobjetivo não convexa e problemas de equilíbrio em variedades de Hadamard. O trabalho foi desenvolvido em três partes:

  Na primeira, que deu origem ao artigo Bento, et al. [J. Optim. Theory Appl. 200:428–436, 2024], analisamos o resolvente baseado em funções de Busemann, introduzido por Bento, et al. [J. Optim. Theory Appl. 195:1087–1105, 2022]. Propomos um método de ponto proximal para problemas de equilíbrio em variedades de Hadamard. Esse resolvente é uma extensão natural de sua versão linear, conforme proposto por Combettes e Hirstoaga [J. Nonlinear Convex Anal. 6:117–136, 2005].   A principal vantagem desse modelo é que o termo de regularização é uma função convexa em variedades de Hadamard, permitindo explorar o comportamento assintótico do método de ponto proximal para a solução de problemas de equilíbrio.

  A segunda, que deu origem ao artigo Bento, et al.  [J. of Global Optim. v. 1, pp. 1-20, 2024], foi dedicado a problemas de otimização multiobjetivo não convexa em espaços de Hilbert. Utilizando subgradientes de Mordukhovich, introduzimos uma nova definição de pontos críticos Pareto, estabelecemos condições necessárias de otimalidade e desenvolvemos uma versão refinada do algoritmo de ponto proximal vetorial, com uma análise detalhada de sua convergência. Os resultados obtidos ampliam significativamente o trabalho  de Bonnel et al. [SIAM J. Optim., 15 (2005), pp. 953–970] que aborda problemas  de otimização vetorial convexa, e de Bento et al. [SIAM J. Optim., 28 (2018), pp. 1104–1120], focados em problemas não convexos de dimensão finita com gradientes generalizados de Clarke.

  Por fim, na terceira, abordamos problemas gerais de otimização multiobjetivo não convexa em espaços de dimensão finita. Também fundamentados nos subgradientes de Mordukhovich, estabelecemos condições de otimalidade necessárias para funções direccionalmente Lipschitz. Os resultados obtidos expandem de forma expressiva as condições do tipo Fritz–John, propostas por Minami em [Journal of Optim. T. and A., 41 (1983), pp. 451–461], como condições necessárias para soluções Pareto fraco.