Ementa: Disciplina que visa a integralização dos estudos e poderá ser feita em outros Programas ofertados pela UFPI ou outras IES credenciadas pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), desde que seja de interesse ao desenvolvimento da Dissertação do(a) discente.

Bibliografia:

Ementa: Transformada de Fourier: nos espaços das funções integráveis, de Schwartz, das funções quadrado integráveis, das distribuições temperadas. Teoremas de Riez-Thorin, de Stein, de Marcinkiewicz. Desigualdades de Young e Hausdorff-Young e Hardy-Littlewood-Sobolev. Espaços de Sobolev. Espaços de Bourgain. Equação de Schrodinger linear: efeitos regularizantes globais e locais. Equação de Schrodinger não linear: teoria local e global e formação de singularidades. Equação de Korteweg-de Vries generalizada: teoria local e global. Aplicações.

Bibliografia: 1. Cazenave, T.: Semilinear Schrödinger equation, Courant Lectures Notes 10, AMS, 2003. 2. Linares, F., Ponce, G.: Introduction to Nonlinear Dispersive Equations, Springer, 2009. 3. T. Tao, Nonlinear Dispersive Equations, Local and Global Analysis, CBMS Regional Conferences Series in Mathematics, 106, AMS, 2006.

Ementa: Transformada de Fourier. Noções fundamentais da teoria de variáveis reais: a função maximal. Interpolação de operadores. Integrais singulares. Transformadas de Riesz: integrais de Poisson. Esféricos harmônicos. Séries de Fourier múltiplas. A teoria de Littlewood-Paley e multiplicadores. Espaços de Hardy.

Bibliografia: 1. Duonadikoetxea, J.: Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics, vol. 29, AMS, Providence, RI, 2001. 2. Grafakos, L. Classical Fourier Analysis, Graduate Texts in Mathematics, 249, Springer, 2004. 3. Stein, E. – Harmonic Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1993.

Ementa: Modelagem e simulação computacional de equações diferenciais parciais. Problemas elípticos, parabólicos e hiperbólicos. Passagem do modelo contínuo ao modelo discreto. Métodos básicos de diferenças finitas e elementos finitos. Implementação simples de esquemas numéricos e resolução de sistemas lineares. Uso de softwares científicos para simulação de Equações Diferenciais Parciais. Visualização gráfica dos dados e interpretação de resultados numéricos.

Bibliografia: 1. Ciarlet, P. G. The Finite Element Method for Elliptic Problems. SIAM. 2. Glowinski, R. Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems. Springer. 3. Quarteroni, A.; Valli, A. Numerical Approximation of Partial Differential Equations. Springer. 4. Girault, V.; Raviart, P.-A. Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations. Springer. 5. Strikwerda, J. Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. SIAM.

Ementa: Espaços topológicos e funções contínuas. Conexidade e compacidade. Enumerabilidade e axiomas de separação. Teorema de Tychonoff. Espaços metrizável e paracompacidade. Espaço métrico completo e Espaço de funções. Espaços de Baire e teoria das dimensões. Grupo Fundamental. Teorema de Seifert-Kampen. Espaços de recobrimento. Homologia.

Bibliografia: 1. Bredon, G.: Topology and Geometry. Springer. 1993. 2. Lee, J.: An Introduction to Topological Manifolds. Springer. 2011. 3. Lima, E.: Espaços de Recobrimento. Projeto Euclides. IMPA - Brasil. 4. Lima, E.: Elementos de topologia geral. Textos Universitários. Editora SBM. 4ª edição, 2024 5. Munkres, J.: Topology. Springer. Second edition. 2014.

Ementa: Introdução à otimização, Condições de otimalidade sem restrições, condições de otimalidade com restrições para problemas com restrição de Igualdade, Condições de Otimalidade de primeira e segunda ordem, Conjuntos convexos e propriedades, Teorema de separação, operador de projeção, pontos extremos, teoremas de alternativas, funções convexas e propriedades, funções convexas diferenciáveis e não diferenciáveis.

Bibliografia: 1. Ademir A. Ribeiro, Elizabeth W. Karas. Otimização Contínua: Aspectos Teóricos e Computacionais. Cengage Learning, 2013. 2. Izmailov, A. and Solodov, M.: Otimização, volume 1. Condições de otimalidade, elementos de análise convexa e dualidade. 2. ed. Rio de Janeiro, IMPA, 2009. 3. Rockafellar, R.T.: Convex Analysis. Princeton Univ. Press, 1970.

Ementa: Espaços lineares e conjunto convexos, espaços lineares parcialmente ordenados, análise em cones. Pontos eficientes e minimização vetorial. Aplicações convexas e aplicações diferenciáveis. Problemas de otimização vetorial não diferenciável. Escalarização: condições necessárias e suficientes de otimalidade. Teoremas de existência. Multiplicadores de Lagrange generalizados. Dualidade. Algoritmos de minimização em otimização vetorial.

Bibliografia: 1. Jahn, J.: Vector optimization: Theory, applications and extensions. 2nd ed. Springer, New York, 2011. 2. Luc, D.T.: Theory of vector optimization, Springer, Berlin, 1989.

Ementa: Exemplos clássicos e modelagem. Definição de Método de regularização. Métodos de regularização contínuos. Regularização de Tikhonov ( Operadores lineares, Operadores não lineares).

Bibliografia: 1. Engl, H. W.; Hanke, M.; Neubauer, A.: Regularization of inverse problems. Kluwer, Dordrecht, 1996. 2. Groetsch, C.: The theory of Tikhonov regularization for Fredholm equations of the first kind. Pitman, Boston, MA, 1984. 3. Groetsch, C.: Generalized inverses of linear operators: representation and 4. approximation. Marcel Dekker, New York, 1977. 5. Groetsch, C.: Elements of applicable functional analysis. Marcel Dekker, Inc., New York, 1980. 6. Groetsch, C.: Stable approximate evaluation of unbounded operators. Springer-Verlag, Berlin, 2007. 7. Kirsch, A.: An introduction to the mathematical theory of inverse problems. SpringerVerlag, New York, 1996. 8. Kreyszig, E.: Introductory functional analysis with applications. John Wiley & Sons, New York, 1989 9. Schuster, T.; Kaltenbacher, B.; Hofmann, B.; Kazimierski, K.: Regularization methods in Banach spaces. Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2012.

Ementa: Condições de otimalidade para problemas sem restrições. Métodos para otimização irrestrita (métodos de descida e busca linear, o método do gradiente, o método de Newton, métodos quase-Newton, métodos de direções conjugadas). Conjuntos convexos. Teoremas de separação. Teoremas de alternativa. Funções convexas. Método subgradiente e método do ponto proximal. Condições de otimalidade no caso das restrições de igualdade e desigualdade (condições de Karush-Kuhn-Tucker, condições de segunda ordem). Elementos da Teoria de Dualidade. Teoria de Operadores Monótonos.

Bibliografia: 1. Bazaraa, M. S., Sherali, H. D. and Shetty, C. M.: Nonlinear programming: Theory and algorithms. 3nd ed. Wiley-Interscience, John Wiley & Sons, Hoboken, Nj, 2006. 2. Bertsekas, D. P.: Nonlinear programming, Belmont, Mass: Athena Scientific, 1995. 3. Izmailov, A. and Solodov, M.: Otimização, volume 1: Rio de Janeiro, IMPA, 2005. 4. Luenberger, D. G. and YE, Y.: Linear and Nonlinear Progromming. Fourth Edition, Stanford University, 2016. 5. Nesterov, Y.: Introductory Lectures on Convex Optimization: A Basic Course, 87 Applied Optimization, Springer Science & Business Media, 2003. 6. Peressini, A.L.; Sullivan, F.E., UHL, J.J., JR:The mathematics of nonlinear programming. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1988. 7. Rockafellar, R.T.: Convex Analysis. Princeton Univ. Press, 1970.

Ementa: Teoremas de comparação: Teoremas de comparação de campos de Rauch, de Toponogov, de Bishop-Gromov, teorema de comparação do hessiano e do laplaciano, teorema de comparação de autovalores e teorema de comparação de Cheng. Estimativas de autovalor para o operador Laplaciano. Tópicos de análise em variedades.

Bibliografia: 1. Cheeger, J., Ebin, D.G.: Comparison Theorems in Riemannian Geometry, North Holland, Amsterdam, 1975. 2. Grigoryan, A.: Heat Kernel and Analysis on Manifolds, AMS/IP studies in advanced mathematics, 2009. 3. Jost, J.: Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Universitext, Springer, 2011. 4. Li, P.: Geometric Analysis. Cambridge Studies in Advanced Mathematics-vol. 134, Cambridge University Press, 2012. 5. O’Neill, B.: Semi-Riemannian Geometry with applications to relativity, Academic Press, 1983. 6. Petersen, P.: Riemannian Geometry. Springer, 2ª edição, 2006. (Graduate Texts in Mathematics). 7. Pigola, P., Rigoli, M. and Setti, A.G.: Vanishing and Finiteness Results in Geometric Analysis. Birkhauser Verlag, 2008. 8. Schoen, R., Yau, S.-T.: Lectures on Differential Geometry. Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and Topology-Vol 1, International Press, 1994. 9. Struwe, M.: Variational Methods, Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems, vol 34. Springer, 1996.

Ementa: Equação de Laplace: funções harmônicas, princípio do máximo, regularidade, teorema de Liouville, solução fundamental, desigualdade de Harnack, funções de Green, métodos da energia. Espaços de Sobolev: teoremas de densidade, mergulhos e compacidade. Equação do Calor: solução fundamental, problema de valor inicial, propriedade do valor médio, princípio do máximo, estimativa das derivadas, método da energia. Equação da Onda: formula de d'Alembert, soluções no plano e no espaço, métodos da transformada de Fourier e da energia.

Bibliografia: 1. Evans, L. C.: Partial Di erential Equations. Graduate Studies in Mathematics vol. 19, American Mathematical Society, 1998. 2. Gilbarg, D., Trudinger, N.S.: Elliptic Partial Di erential equations of Second Order, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1998. 3. Iorio Jr, R. e Iorio, V.: Equações Diferenciais Parciais, uma introdução. Projeto Euclides. Rio de Janeiro, IMPA. 1988. 4. John, F.: Partial Di erential Equations. Third edition. Springer-Verlag. New York, 1978. 5. Jost, J.: Partial Di erential Equations (Graduate Texts in Mathematics). Springer, 2002. 6. Medeiros, L. A.; Ferrel, J. L. e Biazutti , A. C.: Métodos clássicos em equações diferenciais parciais. Instituto de Matematica, UFRJ, 2000.

Ementa: Métodos de Compacidade: Teoremas de Compacidade: de Aubins Lions e de Simon e aplicações à Equação da Onda não Linear, Equações de Navier Stokes, Equações de Schroedinger, Modelos de Kirchhoff para Vibrações não Lineares; Métodos de Monotonia: Equações Parabólicas Monótonas, Métodos de Monotonia e Operadores Hiperbólicos não Lineares, Problema Estacionário, Variantes do Problema de Navier Stokes; Métodos de Ponto Fixo: Teoremas do Ponto Fixo: de Banach, de Schauder, de Kakutani, de Schaefers e aplicações às Equações Parabólicas não Lineares e Problemas Elípticos Quase-lineares.

Bibliografia: 1. Brezis, H.: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Di erential Equations. New York, Springer, 2011. 2. Evans, L. C.: Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics vol. 19, American Mathematical Society, 1998. 3. Lions, J.L.: Quelques Méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod Gauthier-Villars, 1969 4. Medeiros, L.A., Miranda, M.M.: Introdução aos Espaços de Sobolev e as Equações Diferenciais Parciais, IM-UFRJ, 1993. 5. Kesavan, S.: Topics in Functional Analysis and Applications, Wiley Eastern Limited, 1989.

Ementa: Controlabilidade de sistemas lineares. Equações parabólicas: Desigualdade de Carleman para equação do calor, desigualdade de observabilidade, controlabilidade aproximada e nula para a equação do calor. Equações Hiperbólicas: Solução forte, fraca e ultra fraca, método de Faedo-Galerkin, Desigualdade de Carleman para equação da onda, desigualdade de observabilidade, controlabilidade aproximada e nula para a equação da onda, Método HUM. Controle Hierárquico para sistemas parabólicos e hiperbólicos via estratégia de Stackelberg-Nash. Controlabilidade de sistemas não lineares: controlabilidade nula para sistemas parabólicos semilineares via método do ponto fixo de Kakutani. Equações de Navier Stokes: Sistema linearizado, desigualdade de Carleman para o sistema linearizado adjunto, controlabilidade por trajetórias para o sistema linearizado, controlabilidade por trajetórias e nula via teorema de Liusternik.

Bibliografia: 1. A. Fursikov & O. Imanuvilov, Controllability of evolution equations: lecture notes, Vol 34, Seoul National University, Korea, 1996. 2. Jean-Michel Coron, Control and Nonlinearity, Mathematical Surveys and Monograps Volume 136, American Mathematical Society, 2007. 3. R. Temam, Navier-Stokes Equations, Theory and Numerical Analysis, Vol. 2. North-Holland, Amsterdam, 1997. 4. E. Fernandez-Cara, Some Results Concierning the Control of Parabolic PDEs, Universidad de Sevilla, 2008. 5. L. A. Medeiros, M.M. Miranda, A. T. Lourêdo, Introduction to exact control theory method HUM, EDUEPB, Campina Grande, Paraíba, 2013. 6. Enrique Zuazua. Controllability of Differential Equations. 3rd cycle. Castro Urdiales (Espagne), 2006

Ementa: Pontos Críticos via Minimização. O Teorema da Deformação. O Teorema do Passo da Montanha. O Teorema do Ponto de Sela. Pontos Críticos com Vínculos-Vínculos Naturais. Aplicações Pontos Críticos na Presença de Simetria. O Princípio Variacional de Ekeland. Princípio de Minimax Geral, Teoria de Lusternik-Schnirelman. Multiplicidade na teoria Continuação. O Lema de Concentração Compacidade de Lions e Aplicações.

Bibliografia: 1. Costa, D.G.: An Invitation to Variational Methods in Differential Equations (Birkhuser Advanced Texts/Basler Lehrbcher), 2007. 2. Figueiredo, D.G.: The Ekeland variational principle with applications and detours. Tata Institute of fundamental research, Bombay, 1989. 3. Willem, M.: Minimax Theorems, Birkhauser, Boston, Besel, Berlim, 1996. 4. Ghoussoub, N.: Duality an perturbation methods in critical point theory. Cambridge University Press, 1993. 5. Rabinowitz, P.H.: Minimax Methods in Critical Point Theory With Applications to Differential Equations (Cbms Regional Conference Series in Mathematics), 1986. 6. Kavian, O.: Introduction à la théorie des points critiques: et applications aux problèmes elliptiques (Mathématiques et Applications), 1994.

Ementa: Espaços vetoriais normados. Espaços de Banach. Espaço quociente. Espaços de Lebesgue, Teorema de Fischer-Riesz, Reexividade e Separabilidade, Convolução e Regularização, Densidade de funções suaves. Operadores lineares e seus adjuntos. Teorema de Hahn-Banach. Teorema da limitação uniforme. Teorema do gráfico fechado. Teorema da aplicação aberta. Topologia fraca. Teorema de Banach-Alaoglu. Espaços reflexivos. Espaços de Hilbert. Conjuntos ortonormais. Teorema da representação de Riesz. Operadores compactos. Teoria espectral de operadores compactos auto-adjuntos.

Bibliografia: 1. Bachman, G. and Narici, L.: Functional Analisys. Academic Press, New York. 1966. 2. Botelho, G., Pellegrino, D., Teixeira, E.: Fundamentos de Análise Funcional, Coleção Textos Universitários, SBM, 2015 3. Brezis, H.: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Di erential Equations. New York, Springer, 2011. 4. Conway, J.: A Course in Functional Analysis. Springer. 1985. 5. Kolmogorov, A. N. and Fomin, S. V.: Introductory real analisys. Prencite- Hall, Inc., Englewood, N.J.. 1970. 6. Oliveira, C. R.: Introdução à Análise Funcional. Publicações Matemáticas. Rio de Janeiro, IMPA. 2005.

Ementa: Ponto fixo hiperbólico e linearização topológica. Teorema da variedade estável e lambda lema. Teorema de Kupka-Smale. Conjuntos hiperbólicos: folheações estável e instável; exemplos: ferradura, solenóide, difeomorfismo derivado de Anosov, atrator de Plykin. Persistência e estabilidade de conjuntos hiperbólicos; lema de sombreamento. Estabilidade de difeomorfismos globalmente hiperbólicos (Anosov). Filtração e decomposição espectral dos difeomorfismos axioma A. Teorema da omega-estabilidade. Ciclos e exemplos de sistemas omega-instáveis. Estabilidade de ligação transversal de selasl. Comentários sobre as conjecturas da estabilidade e da omega-estabilidade. Closing Lemma e questões correlatas. Elementos de teoria das bifurcações.

Bibliografia: 1. Brin, M. and Stuck, G.: Introduction to Dynamical Systems,Cambridge University Press, 2002. 2. Katok, A. and Hasselblatt, B.: Introduction to Modern Theory of Dynamical Systems, Cambridge University Press, 1995. 3. Melo, W., Van Strien, S.: One-Dimensional Dynamics, Springer-Verlag, 1993. 4. Palis, J., De Melo, W.: Introduction to Dynamical Systems, Berlin, Springer- Verlag, 1982. Versão Original: Projeto Euclides, IMPA, 1987. 5. Palies, J., Takens, F.: Hyperbolicity & sensitive chaotic dynamics at homoclinic bifurcations, Cambridge University Press, 1993. 6. Shub, M.: Global Stability of Dynamical Systems. New York, Springer- Verlag, 1987.

Ementa: Teorema de Recorrência de Poincaré e teorema ergódico de Birkhoff. Existência de medidas invariantes para transformações contínuas. Transformações ergódicas e misturadoras. Transformações unicamente ergódicas. Decomposição ergódica de medidas invariantes. Entropias.

Bibliografia: 1. Katok, A., Hasselblat, B.: Introduction to Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge, 1995 2. Oliveira, K., Viana, M.: Fundamentos da Teoria Ergódica, 1ª edição, Rio de Janeiro, 2014 3. Mañé, R.: Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. Berlin, Springer-Verlag, 1987 4. Walters, P.: Introduction to Ergodic Theory. Springer-Verlag, USA, 2000

Ementa: Grupo fundamental. Espaços de recobrimento. CW-Complexos. Homologia singular. Axiomas de Eilenberg-Steenhood. Sequências de Mayer-Vietores. Aplicações: Teorema da Invariância de dimensão; Teorema da separação de Jordan generalizado. Homologia de uma variedade. Característica de Euler. Cohomologia.

Bibliografia: 1. Hatcher, Allen.: Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002. 2. Lee, John.: Introduction to Topological Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. Springer. 2000. 3. Mercuri, Francesco; Piccione, Paolo e Tausk, Daniel, V.: Notes on Morse Theory. 23º Colóquio Brasileiro de Matemática. Rio de Janeiro. IMPA. 2001. 4. Pitombeira, João Bosco.: Topologia Algébrica. 8º Colóquio Brasileiro de Matemática. Rio de Janeiro. IMPA. 1971.

Ementa: Variedades diferenciáveis: definições, exemplos, variedade com bordo, brado tangente. Elementos da teoria de grupos de Lie. Aplicações diferenciáveis: imersões, submersões, mergulhos. Partições da unidade. Teorema do Mergulho de Whitney. Tensores e métricas riemannianas. Homotopia. Formas diferenciais. Orientação. Integração em variedades: Teorema de Stokes. Cohomologia de De Rham. Distribuições e o Teorema de Frobenius.

Bibliografia: 1. Lima, Elon Lages: Curso de Análise vol 2. Projeto Euclides, IMPA. Rio de Janeiro, 2000. 2. Lee, John: Introduction to smooth manifolds. Graduate Texts in Mathematics, Springer. 2002. 3. Guillemin, P. e Pollack, A.: Die fferential topology. New Jersey: Prentice-Hall, 1974. 4. Warner, Frank: Foundations of di fferentiable manifolds and Lie groups. Scott. Foresman, New York, 1971.

Ementa: Métricas Riemannianas. Conexões. Geodésicas. Curvaturas. Derivação covariante de tensores. Campos de Jacobi. Imersões isométricas. Variedades Riemannianas completas: Teorema de Hopf-Rinow, Teorema de Hadamard. Espaços de curvatura constante. Variações do comprimento de arco. Teorema de comparação de Rauch.

Bibliografia: 1. do Carmo, M.P.: Geometria Riemanniana. Projeto Euclides, IMPA. Rio de Janeiro, 1979. 2. Lee, John: Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature. Graduate. Texts in Mathematics, Springer. 1997. 3. Sakai, T.: Riemannian Geometry. A.M.S., Mathematical Monographs, vol. 149. 4. Gallot, S.; Huylin, D. e Lafontaine, J.: Riemannian Geometry. Berlin, Springer-Verlag, 1987. 5. Petersen, Peter: Riemannian Geometry. University of California. Graduate Texts in Mathematics, Springer. 1997. 6. Jost, J.: Riemannian Geometry and Geometric Analysis. 3nd Edition, Springer-Verlag, Milan, 1998.

Ementa: Modelos de programação linear. Geometria da programação linear. O método simplex. Dualidade em programação linear. O método dual simplex. Métodos clássicos de pontos interiores. Métodos primal-dual de pontos interiores. Implementações de algoritmos.

Bibliografia: 1. M.C.H. FAMPA; N. MACULAN, Otimização linear. Braslia: Editora da UnB. 2006. 2. FREDERICK S. HILLIER; GERALD J. LIEBERMAN, Introdução a Pesquisa Operacional, 8a Ed., McGraw-Hill do Brasil, 2010. 3. W.L. WINSTON, Operations Research: Applications and Algorithms, 4 ed., Duxbury Press, 2003. 4. M.S. BAZARAA; J.J. JARVIS; H. D. SHERALI, Linear Programming and Network Flows. New York: John Wiley & Sons, 2nd edition, 1990. 5. S.J. WRIGHT, Primal-Dual Interior-Point Methods, Philadelphia: SIAM, 1997, pp. 289. ISBN 0-89871-382-X. 6. S.-C. FANG; S. PUTHENPURA, Linear Optimization and Extensions: Theory and Algorithms. New Jersey: AT&T, Prentice Hall. 7. D.G. LUENBERGER, Linear and Nonlinear Programming. New York: Kluwer Academic, 2nd edition, 2003. ISBN 1402075936. 8. P.E. GILL; W. MURRAY; M.H. WRIGHT, Practical Optimization. New York: Academic Press, 1981.

Ementa: Tópicos avançados de Otimização escolhidos pelo professor responsável pela disciplina. O conteúdo e variável e abrange resultados de pesquisas recentes.

Bibliografia: 1. Escolha do professor responsável pela disciplina.

Ementa: Tópicos avançados escolhidos pelo professor responsável pela disciplina. O conteudo e variável e abrange resultados de pesquisas recentes.

Bibliografia: 1. Escolha do professor responsável pela disciplina.

Ementa: Análise matricial. Decomposição em valores singulares. Sensibilidade de sistemas de equações lineares. Decomposição QR. Métodos para problemas de quadrados mínimos lineares. Análise de sensibilidade. Métodos iterativos clássicos para sistemas lineares. Introdução a Métodos baseados em subespaços de Krylov.

Bibliografia: 1. GOLUB, Gene H.; VAN LOAN, Charles F. Matrix computations. 3rd. ed. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1996. 2. DEMMEL, James W.; Applied Numerical Linear Algebra. Philadelphia: SIAM, 1997. 3. BHATIA, Rajendra. Matrix analysis. New York: Springer, 1996. 4. GREENBAUM, Anne; Iterative Methods for Solving Linear Systems. Philadelphia: SIAM, 1997. 5. HORN, Roger A.; JOHNSON, Charles R. Matrix analysis. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. 6. MEYER, Carl D. Matrix analysis and applied linear algebra. Philadelphia: SIAM, 2000. 7. TREFETHEN, Lloyd N.; BAU, David. Numerical Linear Algebra. Philadelphia: SIAM, 1997. 8. WATKINS, David S. Fundamentals of matrix computations. New York: J. Wiley, 1991.

Ementa: Conjuntos e funções mensuráveis. Medidas. Integração de funções positivas mensuráveis e Integração de funções reais. Teoremas de convergência. Diferenciação e Integral de Lebesgue. Espaços de Banach e operadores lineares sobre espaços vetoriais normados. Tipos de convergência. Teoremas de decomposição; Teorema de Radon-Nikodýn. Teorema de representação de Riesz. Teoremas de Fubini e de Tonelli.

Bibliografia: 1. Bartle, R.: The elements of integration and Lebesgue measure. New York. John Wiley and Sons. 1995. 2. Folland, G. B.: Real Analisys, Modern Tecniques and their applications. John Wiley and Sons. 1984. 3. Isnard, C.: Introdução à medida e integração. Projeto Euclides. Rio de Janeiro, IMPA. 2007. 4. Royden, MN.: Analisys. New York. The MacMillan. 1963. 5. Rudin W.: Real and Complex Analisys. Mac-Graw Hill. 1966.

Ementa: Conjuntos e funções convexas: Preliminares, Conjuntos convexos, Funções convexas, Interiores Relativos de Conjuntos Convexos, Função distância. Subdiferencial: Separação convexas, Cone normal de conjunto convexos, Lipschitz Continuidade de funções convexas, Subgradiente de funções convexas, Regras básicas de cálculo do subdiferencial, Subgradiente de funções suporte e função supremo, Função conjugada de Fenchel, Derivadas direcionais. Consequências notáveis de Convexidade: Caracterização da diferenciabilidade, Teorema de Carathéodory e Lema de Farkas, Teorema de Radon e Teorema de Helly, Cone tangente de conjunto convexos. Aplicações à Otimização: Existência de minimizadores em problemas de otimização, Condições de otimalidade, Subgradiente e Proximal método, O Problema de Fermat-Torricelli.

Bibliografia: 1. Borwein, J. M.; Vanderwerff, D. – Convex functions: constructions, characterizations and counteraxamples. Encyclopedia of mathematics, Cambridge, 2009. 2. Ekeland, I.; Témam, R; Convex Analysis and Variational Problems, Classics in applied mathematics, SIAM, 1999. 3. Florenzano, M.; Le Van, C.; Finite Dimensional Convexity and Optimization. Springer, 2001. 4. Rockafellar, T.; Convex Analysis, Princeton University Press, 1972. 5. Van Tiel, J.; Convex Analysis, Na Introduction Test, John Wiley & Sons, 1984.

Ementa: Introdução à Teoria dos Erros. Raízes de Equações não Lineares. Interpolação Polinomial. Derivação e Integração Numérica. Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem.

Bibliografia: 1. Atkinson, K.E.: An Introduction to Numerical Analysis, 2nd edition. Wiley. 1989. 2. Campos Filho, F. F.: Algoritmos Numéricos, 2a. Edição. Editora LTC. 2007. 3. Froberg, Carl-Erik. Introduction to numerical analysis. Reading: Addison Wesley, 1966. 4. Penny, John. Numerical methods using MATLAB. New York. Ellis Horwood, 1995 5. Stoer, J. and Bulirsch, R.: Introduction to Numerical Analysis. Springer-Verlag. 2002.

Ementa: Teorema de existência e unicidade. Dependência diferenciável das condições iniciais. Equações lineares. Exponencial de matrizes. Classificação dos campos lineares. Forma canônica de Jordan. Equações lineares não autônomas: solução fundamental e teorema de Liouville. Equações lineares não homogêneas. Equações com coeficientes periódicos, teorema de Floquet. Estabilidade e instabilidade assintótica de um ponto singular de uma equação autônoma. Funções de Lyapounov. Pontos fixos hiperbólicos. Enunciado do teorema de linearização de Grobman-Hartman. Fluxo associado a uma equação autônoma. Conjuntos limites. Campos gradientes. Campos Hamiltonianos. Campos no plano: órbitas periódicas e Teorema de Poincaré-Bendixon. Órbitas periódicas hiperbólicas. Equação de Van der Pol.

Bibliografia: 1. Arnold, V.: Equations Differentialles Ordinaires. Moscou, Ed. Mir. 1974. 2. Doering, C. I. e Lopes, A. O.: Equações Diferenciais Ordinárias. Coleção Matemética Universitária. Rio de Janeiro, IMPA. 2005. 3. Figueiredo, D. G. e Neves, A. F.: Equações diferenciais aplicadas. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro, IMPA. 2005. 4. Hirsch, M. and Smale, S.: Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. New York, Academic Press. 1974. 5. Pontryagin, L. S.: Ordinary Differential Equations. Reading, Mass., Addison-Wesley. 1969. 6. Sotomayor, J.: Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides. Rio de Janeiro, IMPA. 1979.

Ementa: Tópicos avançados escolhidos pelo professor responsável pela disciplina. O conteúdo é variável e abrange resultados de pesquisas recentes.

Bibliografia: 1. Escolha do professor responsável pela disciplina.

Ementa: Tópicos avançados escolhidos pelo professor responsável pela disciplina. O conteúdo é variável e abrange resultados de pesquisas recentes.

Bibliografia: 1. Escolha do professor responsável pela disciplina.

Ementa: Números complexos. Funções analíticas: séries de potências, fórmula integral de Cauchy. Séries de Taylor e de Laurent. Singularidades. Teorema de resíduos e aplicações. Aplicações conformes. Teorema da representação conforme de Riemann. Funções harmônicas. Fórmula de Poisson.

Bibliografia: 1. Ahlfors, L.: Complex Analisys. New York. Mc-Graw Hill, 1966. 2. Cartan, H.: Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables. Dover Publications, New York, 1995. 3. Conway, J. B.: Functions of one Complex Variable. Spring-Verlag. Berlin. 1978. 4. Knopp, K.: Theory of functions, parts I and II. Dover, New York, 1996. 5. Markushevich, A.I.: Theory of functions of a complex variable, second edition. AMS, New York, 2005. 6. Stein, E. and Shakarchi, R.: Complex Analysis. Princeton Lectures in Analysis, No 2. Princeton University Press, 2003.

Ementa: Anéis euclidianos, inteiros de Gauss. Anéis fatoriais, critério de Eisenstein, lema de Gauss. Polinômios simétricos, algoritmo de Newton. Resultante, teorema de Bezout. Módulos sobre domínios principais, forma canônica de Jordan. Teorema da base de Hilbert. Teorema dos zeros de Hilbert. Grupos, grupos quocientes. Teorema de Lagrange. Grupos finitos com dois geradores. Grupos de permutações. Teorema de Sylow. Teorema de Jordan-Hölder. Grupos solúveis. Teoria de módulos finitamente gerados.

Bibliografia: 1. Artin, M.: Álgebra. Prentice-Hall. New Jersey. 1991. 2. Garcia, A. e Lequain, Y.: Álgebra: Um Curso de Introdução. Projeto Euclides. Rio de Janeiro, IMPA. 1988. 3. Garcia, A. e Lequain, Y.: Elementos de Álgebra. Projeto Euclides. Rio de Janeiro, IMPA. 2003. 4. Jacobson, N.: Lectures in Abstract Álgebra, Vol. I. Van Nostrand. New York. 1951.

Ementa: Curvas planas; Desigualdade isoperimétrica. Curvas no espaço: curvatura e torção, Triedro de Frenet, teorema de existência e unicidade de curvas. Superfícies no Rn: primeira forma fundamental e área. Aplicação normal de Gauss; direções principais, curvatura de Gauss e curvatura média, linhas de curvatura. Geometria intrínseca, exemplos clássicos de superfícies. Derivada covariante, o teorema Egregium; curvatura geodésica; equações das geodésicas, cálculo de geodésicas em superfícies; a aplicação exponencial, o teorema de Gauss-Bonnet. Outros tópicos.

Bibliografia: 1. Do Carmo, M.P.: Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. Textos universitários, SBM. Rio de Janeiro, 2005. 2. Araújo, P. V.: Geometria Diferencial. Coleção Matemática Universitária. IMPA. Rio de Janeiro,1998. 3. O'Neill, Barrett: Elementary differential geometry, 2ed. New York: Academic Press, 1971. 4. Lima, Elon Lages: Curso de Análise vol 2. Projeto Euclides, IMPA. Rio de Janeiro, 2000.

Ementa: Topologia do espaço euclidiano. Caminhos no espaço euclidiano. Funções reais de n variáveis. Aplicações diferenciáveis. Integrais Múltiplas. Integrais de superfície: teorema de Stokes.

Bibliografia: 1. Lima, E. L.: Análise no espaço Rn. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro, IMPA. 2004. 2. Lima, E. L.: Curso de Análise vol.2. Projeto Euclides. Rio de Janeiro, IMPA. 1989. 3. Lima, E. L.: Análise Real vol.2. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro, IMPA. 2004. 4. Lang, S.: Undergraduate Analisys. New York. Springer-Verlag. 1983. 5. Spivak, M.: O Cálculo em Variedades. Coleção Clássicos em Matemática. Editora Ciência Moderna. Rio de Janeiro. 2003.