Ementa: Tópicos avançados escolhidos pelo professor responsável pela disciplina e aprovados pelo colegiado do curso. O conteúdo é variável e abrange resultados de pesquisas recentes.

Bibliografia: Escolha do professor responsável pela disciplina.

Ementa: Análise matricial. Decomposição em valores singulares. Sensibilidade de sistemas de equações lineares. Decomposição QR. Métodos para problemas de quadrados mínimos lineares. Análise de sensibilidade. Métodos iterativos clássicos para sistemas lineares. Introdução a Métodos baseados em subespaços de Krylov.

Bibliografia: 1. GOLUB, Gene H.; VAN LOAN, Charles F. Matrix computations. 3rd. ed. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1996. 2. DEMMEL, James W.; Applied Numerical Linear Algebra. Philadelphia: SIAM, 1997. 3. BHATIA, Rajendra. Matrix analysis. New York: Springer, 1996. 4. GREENBAUM, Anne; Iterative Methods for Solving Linear Systems. Philadelphia: SIAM, 1997. 5. HORN, Roger A.; JOHNSON, Charles R. Matrix analysis. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. 6. MEYER, Carl D. Matrix analysis and applied linear algebra. Philadelphia: SIAM, 2000. 7. TREFETHEN, Lloyd N.; BAU, David. Numerical Linear Algebra. Philadelphia: SIAM, 1997. 8. WATKINS, David S. Fundamentals of matrix computations. New York: J. Wiley, 1991.

Ementa: Espaços vetoriais normados. Espaços de Banach. Espaço quociente. Operadores lineares e seus adjuntos. Teorema de Hahn-Banach. Teorema da limitação uniforme. Teorema do gráfico fechado. Teorema da aplicação aberta. Topologia fraca. Teorema de Banach-Alaoglu. Espaços reflexivos. Espaços de Hilbert. Conjuntos ortonormais. Teorema da representação de Riesz. Operadores compactos. Teoria espectral de operadores compactos auto-adjuntos.

Bibliografia: 1-Bachman, G. and Narici, L.: Functional Analisys. Academic Press, New York. 1966. 2-Brezis, H.: Analisyse Fonctionelle: Théorie et Aplications. Masson Paris, 1987. 3-Conway, J.: A Course in Functional Analysis. Springer. 1985. 4-Kolmogorov, A. N. and Fomin, S. V.: Introductory real analisys. Prencite-Hall, Inc., Englewood, N.J.. 1970. 5-Oliveira, C. R.: Introdução à Análise Funcional. Publicações Matemáticas. Rio de Janeiro, IMPA. 2005.

Ementa: Conjuntos e funções mensuráveis. Medidas. Integração de funções positivas mensuráveis e Integração de funções reais. Teoremas de convergência. Diferenciação e Integral de Lebesgue. Espaços de Banach e operadores lineares sobre espaços vetoriais normados. Tipos de convergência. Teoremas de decomposição; Teorema de Radon-Nikodýn. Teorema de representação de Riesz. Teoremas de Fubini e de Tonelli.

Bibliografia: 1. Bartle, R.: The elements of integration and Lebesgue measure. New York. John Wiley and Sons. 1995. 2. Folland, G. B.: Real Analisys, Modern Tecniques and their applications. John Wiley and Sons. 1984. 3. Isnard, C.: Introdução à medida e integração. Projeto Euclides. Rio de Janeiro, IMPA. 2007. 4. Royden, MN.: Analisys. New York. The MacMillan. 1963. 5. Rudin W.: Real and Complex Analisys. Mac-Graw Hill. 1966.

Ementa: Conjuntos e funções convexas: Preliminares, Conjuntos convexos, Funções convexas, Interiores Relativos de Conjuntos Convexos, Função distância. Subdiferencial: Separação convexas, Cone normal de conjunto convexos, Lipschitz Continuidade de funções convexas, Subgradiente de funções convexas, Regras básicas de cálculo do subdiferencial, Subgradiente de funções suporte e função supremo, Função conjugada de Fenchel, Derivadas direcionais. Consequências notáveis de Convexidade: Caracterização da diferenciabilidade, Teorema de Carathéodory e Lema de Farkas, Teorema de Radon e Teorema de Helly, Cone tangente de conjunto convexos. Aplicações à Otimização: Existência de minimizadores em problemas de otimização, Condições de otimalidade, Subgradiente e Proximal método, O Problema de Fermat-Torricelli.

Bibliografia: 1. Borwein, J. M.; Vanderwerff, D. – Convex functions: constructions, characterizations and counteraxamples. Encyclopedia of mathematics, Cambridge, 2009. 2. Ekeland, I.; Témam, R; Convex Analysis and Variational Problems, Classics in applied mathematics, SIAM, 1999. 3. Florenzano, M.; Le Van, C.; Finite Dimensional Convexity and Optimization. Springer, 2001. 4. Rockafellar, T.; Convex Analysis, Princeton University Press, 1972. 5. Van Tiel, J.; Convex Analysis, Na Introduction Test, John Wiley & Sons, 1984.

Ementa: Introdução à Teoria dos Erros. Raízes de Equações não Lineares. Interpolação Polinomial. Derivação e Integração Numérica. Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem.

Bibliografia: 1. Atkinson, K.E.: An Introduction to Numerical Analysis, 2nd edition. Wiley. 1989. 2. Campos Filho, F. F.: Algoritmos Numéricos, 2a. Edição. Editora LTC. 2007. 3. Froberg, Carl-Erik. Introduction to numerical analysis. Reading: Addison Wesley, 1966. 4. Penny, John. Numerical methods using MATLAB. New York. Ellis Horwood, 1995 5. Stoer, J. and Bulirsch, R.: Introduction to Numerical Analysis. Springer-Verlag. 2002.

Ementa: Teorema de existência e unicidade. Dependência diferenciável das condições iniciais. Equações lineares. Exponencial de matrizes. Classificação dos campos lineares. Forma canônica de Jordan. Equações lineares não autônomas: solução fundamental e teorema de Liouville. Equações lineares não homogêneas. Equações com coeficientes periódicos, teorema de Floquet. Estabilidade e instabilidade assintótica de um ponto singular de uma equação autônoma. Funções de Lyapounov. Pontos fixos hiperbólicos. Enunciado do teorema de linearização de Grobman-Hartman. Fluxo associado a uma equação autônoma. Conjuntos limites. Campos gradientes. Campos Hamiltonianos. Campos no plano: órbitas periódicas e Teorema de Poincaré-Bendixon. Órbitas periódicas hiperbólicas. Equação de Van der Pol.

Bibliografia: 1. Arnold, V.: Equations Differentialles Ordinaires. Moscou, Ed. Mir. 1974. 2. Doering, C. I. e Lopes, A. O.: Equações Diferenciais Ordinárias. Coleção Matemética Universitária. Rio de Janeiro, IMPA. 2005. 3. Figueiredo, D. G. e Neves, A. F.: Equações diferenciais aplicadas. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro, IMPA. 2005. 4. Hirsch, M. and Smale, S.: Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. New York, Academic Press. 1974. 5. Pontryagin, L. S.: Ordinary Differential Equations. Reading, Mass., Addison-Wesley. 1969. 6. Sotomayor, J.: Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides. Rio de Janeiro, IMPA. 1979.

Ementa: Classificação de EDP's de segunda ordem com duas variáveis independentes. Problema de Cauchy e de contorno. Problemas bem postos. Método de separação de variáveis e o problema de condução de calor em uma barra infinita. Séries de Fourier: convergência da série de Fourier. Aplicações: problemas da corda vibrante, da condução de calor em uma barra e problema de Dirichlet no retângulo. Transformada de Fourier. O espaço de Schwartz e a transformada de Fourier. Distribuições temperadas.Os espaços L2(R). Aplicações às equações do calor, da onda, de Poisson e de Schrödinger.

Bibliografia: 1-Evans, L. C.: Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics vol. 19, American Mathematical Society, 1998. 2-Figueiredo, D. G.: Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Projeto Euclides. Rio de Janeiro, IMPA. 1977. 3-Iório Jr, R. e Iório, V.: Equações Diferenciais Parciais, uma introdução. Projeto Euclides. Rio de Janeiro, IMPA. 1988. 4-John, F.: Partial Differential Equations. Third edition. Springer-Verlag. New York. . 1978.5-Medeiros, L. A.; Ferrel , J. L. e Biazutti , A. C.: Métodos clássicos em equações diferenciais parciais. Instituto de Matemática, UFRJ. 2000.

Ementa: Métricas riemannianas. Conexão de Levi-Civitta. Geodésicas. Vizinhanças normais e totalmente normais. Tensor de curvatura. Derivação covariante de tensores. Campos de Jacobi e pontos conjugados. Imersões isométricas; equações de Gauss, Ricci e Codazzi. Variedades riemannianas completas; Teorema de Hopf-Rinow, Teorema de Hadamard. Espaços de curvatura constante. Variações do comprimento de arco e aplicações. Teorema de comparação de Rauch; Teorema de Bonnet-Myers, Teorema de Synge e outras aplicações. O Teorema do índice de Morse. O lugar dos pontos mínimos. Teorema da Esfera.

Bibliografia: 1-do Carmo, M.P.: Geometria Riemanniana. Projeto Euclides, IMPA. Rio de Janeiro, 1979. 2-Lee, John: Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature. Graduate. Texts in Mathematics, Springer. 1997. 3-Sakai, T.: Riemannian Geometry. A.M.S., Mathematical Monographs, vol. 149. 4-Gallot, S.; Huylin, D. e Lafontaine, J.: Riemannian Geometry. Berlin, Springer-Verlag, 1987. 5-Petersen, Peter: Riemannian Geometry. University of Califórnia. Graduate Texts in Mathematics , Springer. 1997. 6-Chavel, Isaac: Riemannian Geometry: A modern Introduction. Cambridge University Press, 1996. 7-Jost, J.: Riemannian Geometry and Geometric Analysis. 3nd Edition, Springer-Verlag, Milan, 1998.

Ementa: Grupo fundamental. Espaços de recobrimento. CW-Complexos. Homologia singular. Axiomas de Eilenberg-Steenhood. Seqüências de Mayer- Vietores. Aplicações: Teorema da Invariância de dimensão; Teorema da separação de Jordan generalizado. Homologia de uma variedade. Característica de Euler. Cohomologia.

Bibliografia: 1-Hatcher, Allen.: Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002. 2-Lee, John.: Introduction to Topological Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. Springer. 2000. 3-Mercuri, Francesco; Piccione, Paolo e Tausk, Daniel, V.: Notes on Morse Theory. 23° Colóquio Brasileiro de Matemática. Rio de Janeiro. IMPA. 2001. 4-Pitombeira, João Bosco.: Topologia Algébrica. 8° Colóquio Brasileiro de Matemática. Rio de Janeiro. IMPA. 1971.

Ementa: Variedades diferenciáveis: definições, exemplos, variedade com bordo, fibrado tangente. Elementos da teoria de grupos de Lie. Aplicações diferenciáveis: imersões, submersões, mergulhos. Partições da unidade. Teorema do Mergulho de Whitney. Tensores e métricas riemannianas. Homotopia. Formas diferenciais. Orientação. Integração em variedades: Teorema de Stokes. Cohomologia de De Rham. Teoria do Grau e o Teorema de Gauss-Bonnet.

Bibliografia: 1-Lima, Elon Lages: Curso de Análise vol 2. Projeto Euclides, IMPA. Rio de Janeiro, 2000. 2-Lee, John: Introduction to smooth manifolds. Graduate Texts in Mathematics, Springer. 2002. 3-Guillemin, P. e Pollack, A.: Diefferential topology. New Jersey: Prentice-Hall, 1974. 4-Spivak, Michael: Cálculo em variedades. Editora Ciência Moderna, 2003. 5-Warner, Frank: Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Scott. Foresman, New York, 1971.

Ementa: Existência de soluções. Condições de otimalidade para problemas sem restrições. Condições de otimalidade em forma primal para problemas com restrições. O cone tangente. Condições de otimalidade no caso das restrições de igualdade (condições de Lagrange, condições de segunda ordem). Conjuntos convexos. Teoremas de separação. Teoremas de alternativa. Funções convexas. Condições de otimalidade no caso das restrições de igualdade e desigualdade (condições de Karush-Kuhn-Tucker, condições de segunda ordem). Elementos da Teoria de Dualidade.

Bibliografia: 1. BAZARAA, M.S., SHERALI, H.D., SHETTY, C.M.: Nonlinear programming: Theory and algorithms. 3nd ed. Wiley-Interscience, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 2006. 2. BERTSEKAS, D.P.: Nonlinear programming, Belmont, Mass.: Athena Scientic, 1995. 3. IZMAILOV, A., SOLODOV, M.: Otimização, volume 1: Rio de Janeiro, IMPA, 2005. 4. LUENBERGER, D.G., YE, Y.: Linear and Nonlinear Programming. Fourth Edition, Stanford University, 2016. 5. NESTEROV, Y.: Introductory Lectures on Convex Optimization: A Basic Course, 87 Applied Optimization, Springer Science & Business Media, 2003. 6. PERESSINI, A.L.; SULLIVAN, F.E., UHL, J.J., JR: The mathematics of nonlinear programming. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer- Verlag, New York, 1988. 7. ROCKAFELLAR, R.T.: Convex Analysis. Princeton Univ. Press, 1970.

Ementa: Métodos de otimização unidimensional. Métodos para otimização irrestrita (métodos de descida e busca linear, o método do gradiente, o método de Newton, métodos quase-Newton, métodos de direções conjugadas). Estratégias de globalização de convergência. Métodos para otimização com restrições (métodos do gradiente projetado, métodos de direções viáveis, penalização externa, penalização interna, Lagrangianas aumentadas, programação quadrática sequencial). Métodos para otimização não-diferenciável (métodos de subgradiente, o método de planos cortantes, métodos de feixe).

Bibliografia: 1. BAZARAA, M.S., SHERALI, H.D., SHETTY, C.M.: Nonlinear programming: Theory and algorithms. 3nd ed. Wiley-Interscience, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 2006. 2. BERTSEKAS, D.P.: Nonlinear programming, Belmont, Mass.: Athena Scienti c, 1995. 3. IZMAILOV, A., SOLODOV, M.: Otimização, volume 1: Rio de Janeiro, IMPA, 2005. 4. LUENBERGER, D.G.: Linear and nonlinear programming. 2nd ed. Kluwer Academic Publishers, Boston, MA, 2003. 5. PERESSINI, A.L.; SULLIVAN, F.E., UHL, J.J., JR: The mathematics of nonlinear programming. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer- Verlag, New York, 1988. 6. ROCKAFELLAR, R.T.: Convex Analysis. Princeton Univ. Press, 1970.

Ementa: Tópicos avançados escolhidos pelo professor responsável pela disciplina. O conteúdo é variável e abrange resultados de pesquisas recentes.

Bibliografia: 1. Escolha do professor responsável pela disciplina.

Ementa: Tópicos avançados escolhidos pelo professor responsável pela disciplina e aprovados pelo colegiado do curso. O conteúdo é variável e abrange resultados de pesquisas recentes.

Bibliografia: Escolha do professor responsável pela disciplina.

Ementa: Tópicos avançados escolhidos pelo professor responsável pela disciplina e aprovados pelo colegiado do curso. O conteúdo é variável e abrange resultados de pesquisas recentes.

Bibliografia: Escolha do professor responsável pela disciplina.

Ementa: Tópicos avançados escolhidos pelo professor responsável pela disciplina e aprovados pelo colegiado do curso. O conteúdo é variável e abrange resultados de pesquisas recentes.

Bibliografia: Escolha do professor responsável pela disciplina.

Ementa: Tópicos avançados escolhidos pelo professor responsável pela disciplina. O conteúdo é variável e abrange resultados de pesquisas recentes.

Bibliografia: 1. Escolha do professor responsável pela disciplina.

Ementa: Tópicos avançados escolhidos pelo professor responsável pela disciplina e aprovados pelo colegiado do curso. O conteúdo é variável e abrange resultados de pesquisas recentes.

Bibliografia: Escolha do professor responsável pela disciplina.

Ementa: Tópicos avançados escolhidos pelo professor responsável pela disciplina e aprovados pelo colegiado do curso. O conteúdo é variável e abrange resultados de pesquisas recentes.

Bibliografia: Escolha do professor responsável pela disciplina.

Ementa: Números complexos. Funções analíticas: séries de potências, fórmula integral de Cauchy. Séries de Taylor e de Laurent. Singularidades. Teorema de resíduos e aplicações. Aplicações conformes. Teorema da representação conforme de Riemann. Funções harmônicas. Fórmula de Poisson.

Bibliografia: 1. Ahlfors, L.: Complex Analisys. New York. Mc-Graw Hill, 1966. 2. Cartan, H.: Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables. Dover Publications, New York, 1995. 3. Conway, J. B.: Functions of one Complex Variable. Spring-Verlag. Berlin. 1978. 4. Knopp, K.: Theory of functions, parts I and II. Dover, New York, 1996. 5. Markushevich, A.I.: Theory of functions of a complex variable, second edition. AMS, New York, 2005. 6. Stein, E. and Shakarchi, R.: Complex Analysis. Princeton Lectures in Analysis, No 2. Princeton University Press, 2003.

Ementa: Topologia do Rn. Aplicações diferenciáveis entre espaços euclidianos. Derivada como transformação linear. O gradiente. Regra da cadeia. Caminhos no Rn. Aplicações de classe Cn e a fórmula de Taylor. Sequências e séries de funções. Teorema da função inversa; Formas locais de Imersões e Submersões; e Teorema da Função Implícita. Teorema do Posto. Superfícies; Multiplicadores de Lagrange. Integrais múltiplas; Mudanças de variáveis em integrais múltiplas.

Bibliografia: 1-Diedonné, J.: Fundamentos de Analises Moderna. Editora Reverte, 1976. 2-Lima, E. L.: Análise no espaço Rn. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro, IMPA. 2004. 3-Lima, E. L.: Curso de Análise vol.2. Projeto Euclides. Rio de Janeiro, IMPA. 1989. 4-Lima, E. L.: Análise Real vol.2. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro, IMPA. 2004. 5-Lang, S.: Undergraduate Analisys. New York. Springer-Verlag. 1983. 6-Spivak, M.: O Cálculo em Variedades. Coleção Clássicos em Matemática. Editora Ciência Moderna. Rio de Janeiro. 2003.

Ementa: Anéis euclidianos, inteiros de Gauss. Anéis fatoriais, critério de Eisenstein, lema de Gauss. Polinômios simétricos, algoritmo de Newton. Resultante, teorema de Bezout. Módulos sobre domínios principais, forma canônica de Jordan. Teorema da base de Hilbert. Teorema dos zeros de Hilbert. Grupos, grupos quocientes. Teorema de Lagrange. Grupos finitos com dois geradores. Grupos de permutações. Teorema de Sylow. Teorema de Jordan-Hölder. Grupos solúveis. Teoria de módulos finitamente gerados.

Bibliografia: 1. Artin, M.: Álgebra. Prentice-Hall. New Jersey. 1991. 2. Garcia, A. e Lequain, Y.: Álgebra: Um Curso de Introdução. Projeto Euclides. Rio de Janeiro, IMPA. 1988. 3. Garcia, A. e Lequain, Y.: Elementos de Álgebra. Projeto Euclides. Rio de Janeiro, IMPA. 2003. 4. Jacobson, N.: Lectures in Abstract Álgebra, Vol. I. Van Nostrand. New York. 1951.

Ementa: Curvas planas; Desigualdade isoperimétrica. Curvas no espaço: curvatura e torção, Triedro de Frenet, teorema de existência e unicidade de curvas. Superfícies no Rn: primeira forma fundamental e área. Aplicação normal de Gauss; direções principais, curvatura de Gauss e curvatura média, linhas de curvatura. Geometria intrínseca, exemplos clássicos de superfícies. Derivada covariante, o teorema Egregium; curvatura geodésica; equações das geodésicas, cálculo de geodésicas em superfícies; a aplicação exponencial, o teorema de Gauss-Bonnet. Outros tópicos.

Bibliografia: 1. Do Carmo, M.P.: Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. Textos universitários, SBM. Rio de Janeiro, 2005. 2. Araújo, P. V.: Geometria Diferencial. Coleção Matemática Universitária. IMPA. Rio de Janeiro,1998. 3. O'Neill, Barrett: Elementary differential geometry, 2ed. New York: Academic Press, 1971. 4. Lima, Elon Lages: Curso de Análise vol 2. Projeto Euclides, IMPA. Rio de Janeiro, 2000.